第284章 数学，从来都只有一种数学 (第2/3页)
，声音不大。
“我从生成函数走。”
“考虑日函数0(q)= q^(n?)。”
“rz(n)，就是日(q)在q"n这一项上的系数。”
“所以这个问题，本质上是研究*这一个对象。”
“……我只能走到这一步。”
她坐了下去。
李东在台上“哎”了一声。
“这一位同学，已经站在下一站的门口了。”
他冲她点了点头。
“你这个方向，是对的。”
“只不过它通向的，不是这一道题的答案。”
“它通向的，是雅可比、克莱因、希尔伯特那一些人想了一辈子的另一座山。”
“咱们今天先把这一座山过了，再谈下一座。”
这句一出来。
台下那一群研究生。
有几个突然就坐直了。
他们听出来了。
李东说的“下一座山“。
就是模形式。
三位答完。
教室里头反而更安静了。
按理说，这三个答案已经把这道题“三个最常用的方向“都答全了。
解析数论一个，几何一个，模形式一个。
还能怎麽答？
李东在台上看了看下面。
他嘴角微微地翘了一下。
“三个答案，都对。”
“但是都不彻底。”
“第一位学长的答案告诉你哪些n有解、哪些n没解。”
“第二位同学的答案告诉你解的总数大概是nN。”
“最後这一位同学的答案告诉你，这东西最後能落到一个生成函数上头去。”
“可是有一件事，他们三个人都没答。”
他停顿了一下。
“对一个具体的n，它到底有几组解？”
“精确的几组。”
“解数到底是怎麽决定的？”
“既不是素因子分解的'有/无'。”
“也不是面积估算的'大概'。”
“当然更不是02这一个对象的笼统描述。”
“是一个精确到每一个n的闭形式的公式。”
台下所有人此时都安静的听着。
他们这才意识到。
他们刚才答的三条路，都没碰到这个核心。
有一种“我刚才答得很对，但是好像和你问的不是一回事“的尴尬感。
李东转过身，在黑板上写了一行字。
[r=(n)=4 · (d1(n)-ds(n))]
然後他在下面一行接着写。
[d:(n)=#{ d | n, d= 1 (mod 4)}】
【ds(n)=#{d|n,d=3(mod4)}】
他放下粉笔，转过身。
“这是雅可比1828年给出的一个精确公式。”
“对每一个n，它有几组解，看它的因子里头模4余1的有几个、模4余3的有几个，做一个差，再乘以4。“完事。”
台下“嘶”地一声。
有几个研究生忍不住低声嘀咕了。
“这……这是怎麽写出来的？”
“这两件事怎麽扯上的？”
李东笑了一下。
他抬起手，在黑板上写了一组新的符号。
【Z[={ a + bi : a, bEZ}]
“高斯整数。”
“a加b乘i。”
“a和b都是整数。”
“在这一个新的数系里头，你做一件事。”
“你把一个整数n，展开成它在Z[里的素因子分解。”
他在黑板上画了一个分支。
“在普通的整数里，5是素数。”
“可是在Z[里，5 =(2 + i)(2- i）。”
“它分裂了。”
“3呢？在Z[里，它还是素数，它不分裂。”
“7呢？也不分裂。”
“为什麽有的素数分裂，有的不分裂？”
他看了一眼章衡。
章衡的眼睛已经发亮了，然後大声说道。
“模4余1的分裂。”
“模4余3的不分裂。”
李东点了点头。
“所以rz(n）其实问的是什麽？”
“问的是把n在Z[里头分解成两个高斯整数的乘积，有多少种分法。”
“这是高斯整数里头的'除数函数'。”
“换一个数系，这个问题从"数解'变成了'数除数'。”
“换一个视角，这个问题就从"代数变换的组合问题'，变成了'数论里头熟悉的因子计数问题'。”他停顿了一下，指了指邱嘉源
“这位同学，你刚才那一个面积估算说rs(n)的平均阶是r。”
“你知道为什麽是n吗？”
邱嘉源有些犹豫的说道。
“圆的面积公式。”
李东摇了摇头。
“也不是。”
“圆的面积公式，是一个表象。”
“你把这个解数函数rz(n)做一个 Dirichlet级数。”
李东在黑板上又写了一行。
[Zrz(n)/n^s=4· &(s) ·L(s, x)】
“它在解析上分裂成两个东西的乘积。”
“一个，是黎曼（函数。”
“另一个，是模4那一个非平凡特征的DirichletL函数。”
“乘积的第一项，在s=1处有极点，留数等於1。”
“乘积的第二项，在s=1处的值，是r/4。”
“两个一乘，就出了那一个n。”
“这才是为什麽平均阶是m的原因。”
“那一个n，不是从圆里头掉出来的。”
“是从一个L函数里头掉出来的。”
台下的人现在已经懵了。
邱嘉源那一口气没缓上来。
他刚才答的“圆的面积”。
是这个L函数在s=1那一头留下来的一个偶然
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